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在數(shù)學(xué)、物理和工程領(lǐng)域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更易于表達(dá)、分解和計(jì)算的坐標(biāo)系是一種核心方法：SVD、譜分解、傅里葉變換和拉格朗日力學(xué)都是如此，其重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出一般認(rèn)知。深度學(xué)習(xí)如此受歡迎的重要原因行列式是什么，就是通過(guò)表示學(xué)習(xí)，將高維數(shù)據(jù)映射到合適的低維特征空間。

在反向傳播中，神經(jīng)元輸出相對(duì)于輸入的局部敏感度是偏導(dǎo)數(shù)

來(lái)源：~srihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf

在映射過(guò)程中，描述不同函數(shù)變量之間變化速度的導(dǎo)數(shù)非常重要。雅可比矩陣提供了一種表達(dá)局部輸出對(duì)輸入敏感度的方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的BP反向傳播依靠誤差與權(quán)重之間的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系來(lái)訓(xùn)練權(quán)重。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重有幾萬(wàn)個(gè)，代價(jià)函數(shù)對(duì)哪些權(quán)重的變化敏感。毫無(wú)疑問(wèn)，那些權(quán)重更為重要。雅可比矩陣為分析神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出行為提供了一個(gè)數(shù)學(xué)框架。當(dāng)然，雅可比的應(yīng)用極其廣泛，機(jī)器學(xué)習(xí)只是冰山一角。

目錄

坐標(biāo)變換

一維變量替換

雅可比矩陣

雅可比行列式

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) BP 誤差反向傳播

雅可比正則化

關(guān)于卡爾·雅各布·雅各比

01

坐標(biāo)變換

坐標(biāo)變換的原因之一是為了方便積分。當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)數(shù)時(shí)，變量代換往往可以簡(jiǎn)化問(wèn)題。例如，對(duì)圓形面積進(jìn)行積分時(shí)，極坐標(biāo)比笛卡爾坐標(biāo)更方便。有時(shí)被積函數(shù)為復(fù)數(shù)，變量代換可以降低復(fù)雜度。坐標(biāo)變換的思想可以進(jìn)一步擴(kuò)展到任何自定義變量代換坐標(biāo)系：

例如，對(duì)下面四條直線(xiàn)圍成的平行四邊形的面積求積分，四條直線(xiàn)的方程為：。

引入新變量： ，兩條斜線(xiàn)變?yōu)?，兩條水平線(xiàn)變?yōu)?。顯然，在矩形區(qū)域上積分比在平行四邊形區(qū)域上積分更方便。

02

一維變量替換

讓我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的 1D U-Substitution 玩具案例為例來(lái)回顧一下變量替換過(guò)程。

推導(dǎo)：

順序：，然后，

然后將其推廣到更一般的代換情況：對(duì)于 ，這意味著當(dāng)對(duì) 作出一個(gè)微小的擾動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的 的變化與 呈線(xiàn)性關(guān)系。同時(shí)，定積分的上下限也要作相應(yīng)的調(diào)整： ，其中出現(xiàn)了一個(gè)比例因子，也就是導(dǎo)數(shù)，它是單變量下的雅可比矩陣，可以理解為 。

注意：這和我們通常看到的方向相反，為了和多變量下的形式保持一致，比如上例中的總和。

03

雅可比矩陣

在多變量的情況下，坐標(biāo)變換描述的是從 到 的連續(xù)一一變換。注意，這是獨(dú)立變量，它是上面帶有獨(dú)立變量的函數(shù)的反函數(shù)。可以看出，雅可比矩陣可以是雙向的，一般從積分較難的方向指向積分較容易的方向。

矩陣形式為：

，在

這是雅可比矩陣。

假設(shè)在映射中，輸入為，輸出為。雅可比矩陣告訴我們：如果

是位移矢量，則

是相應(yīng)坐標(biāo)變換后空間中的位移矢量

這是 的最佳一階近似，這是一階泰勒公式近似思想在坐標(biāo)變換中的體現(xiàn)。

我們來(lái)看看下面的方向：

從 UV 平面到 XY 平面的坐標(biāo)變換

假設(shè)我們對(duì)坐標(biāo)系中位于的點(diǎn)進(jìn)行擾動(dòng)，并分別將其增大，以得到一個(gè)很小的面積。現(xiàn)在考慮坐標(biāo)系中擾動(dòng)所對(duì)應(yīng)的變化：，。

在坐標(biāo)中，平行四邊形的面積是兩個(gè)邊向量叉積的大小：

04

雅可比行列式

此時(shí)，雅可比矩陣是一個(gè)方陣，而相應(yīng)的雅可比行列式計(jì)算的是給定矩陣的線(xiàn)性變換的比例因子，告訴我們?cè)撟儞Q是空間放大還是縮小貝語(yǔ)網(wǎng)校，并且這個(gè)因子對(duì)于空間的任何區(qū)域都是不變的（行列式）。

行列式等于矢量包圍的面積或體積

這就是雅可比行列式，或者簡(jiǎn)稱(chēng)為“雅可比”。

在上面的平行四邊形變成矩形的例子中：

這意味著平行四邊形和矩形的積分按 1 倍縮放。

05

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) BP 誤差反向傳播

雅可比矩陣用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中反向傳播誤差信號(hào)時(shí)。來(lái)源：PRML

BP反向傳播是最經(jīng)典的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重訓(xùn)練方法，至今仍是最重要的方法。BP算法還有另外一個(gè)名字——“總是尋求偏導(dǎo)數(shù)”。在將誤差信號(hào)前向傳遞到輸入層的過(guò)程中，權(quán)重被調(diào)整/學(xué)習(xí)。上圖中，紅色模塊對(duì)應(yīng)需要計(jì)算的雅可比矩陣，公式如下：

，其中是估計(jì)值。

前面我們提到，行列式的值告訴我們空間是在膨脹還是在收縮。如果輸出空間在輸入空間的某個(gè)輸入點(diǎn)處大大膨脹，則意味著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在這個(gè)區(qū)域可能有些不穩(wěn)定，輸入中的任何擾動(dòng)都可能導(dǎo)致輸出出現(xiàn)巨大的波動(dòng)。相反，如果行列式相對(duì)較小，則輸入的變化對(duì)輸出的影響就很小。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的雅可比矩陣的計(jì)算過(guò)程為：輸入向量在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)過(guò)前向傳播，得到所有輸出層和隱含層的激活值，對(duì)輸出單元進(jìn)行反向傳播，對(duì)應(yīng)雅可比矩陣中的行，向輸入層反向傳播。計(jì)算結(jié)果可以用數(shù)值方法驗(yàn)證：。

06

雅可比正則化

參考：基于雅可比正則化的穩(wěn)健學(xué)習(xí)

近年來(lái)，雅可比矩陣被應(yīng)用于正則化。與正則化不同，雅可比正則化關(guān)注的是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入波動(dòng)的魯棒性。你可能對(duì)對(duì)抗樣本很熟悉。少量的長(zhǎng)臂猿梯度（中）混入了一張熊貓圖片（左），導(dǎo)致分類(lèi)算法錯(cuò)誤地將圖片識(shí)別為置信度為 99.3% 的長(zhǎng)臂猿（右）。

Jacobian Regularization 的思想很簡(jiǎn)單，Jacobian 矩陣中的值越小，表示輸入空間的微小波動(dòng)對(duì)輸出空間的影響越小。具體來(lái)說(shuō)，它取 Jacobian 矩陣的 Frobenius 范數(shù)，也就是矩陣所有元素之和的平方根。

07

關(guān)于卡爾·雅各布·雅各比

卡爾·古斯塔夫·雅可比（1804 – 1851）

雅可比矩陣和行列式是由德國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾·古斯塔夫·雅各布·雅可比（1804-1851）提出的，他對(duì)橢圓函數(shù)、動(dòng)力學(xué)、微分方程、行列式和數(shù)論做出了重要貢獻(xiàn)。他推動(dòng)了偏微分符號(hào)的廣泛使用行列式是什么，只要看一眼雅可比公式就能知道原因。不要把它與學(xué)術(shù)巨人雅各布·伯努利（1654-1705）混淆。

以雅各布命名的月球隕石坑

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