等差數列與等比數列：前 n 項和、通項公式及性質的應用
更新時間：2024-08-02 20:25:27作者：佚名
1. 數列 一、選擇題1（2024全國） 等差數列前項之和為，若，（）ABC1D2（2024全國） 等差數列前項之和為，若，則（）ABC1D2 二、填空題3（2024全國） 記為等差數列前n項之和，若，則。 4（2024北京） 已知，不是常數序列且各項不同。正確答案是。，都是等差數列，則M中最多有一個元素；，是等比數列，則M中最多有三個元素；是等差數列，是等比數列，則M中最多有三個元素； 單調遞增，單調遞減，則M中至多有一個元素。5 (2024上海)無限等比數列滿足第一項，記住，如果對于任何一組正整數都是閉區間，則的取值范圍為三，回答問題6 (2024全國)設m為正整數，該序列為等差數列，其公差不等于0，如果從其中刪去兩個項，剩余項可以
2.如果把數列均勻地分成幾組，每組四個數能組成一個等差數列，這個數列叫做可整除數列。（1）寫出所有使數列成為可整除數列的數；（2）當，證明該數列是可整除數列；（3）每次取任意兩個數和，設該數列是可整除數列的概率為，證明：7 (2024全國)給定一條雙曲線，點在上，為常數，按如下順序構造點，畫一條直線，斜率為并與在點的左分支相交，設是關于軸的對稱點，的坐標為。（1）若，求；（2）證明：該數列是等比數列，其公比為； (3) 設是的面積，證明：對于任意正整數，.8 (2024 National) 已知幾何數列首項之和為，且。(1) 求的通式；(2) 求數列的通式。9 (2024 National) 設是數列首項之和，且。(1) 求的通式；(2) 設，求數列首項之和為10（
3. 2024北京)設給定集合一個有限數列，和一個序列。定義變換：給數列的項加1，得到一個數列；給數列的項加1，得到一個數列；重復上述操作，得到一個數列，記為 (1)給定一個數列和一個數列，寫出； (2)是否存在一個數列使得，若有，寫出滿足條件的數列；若不存在，請說明原因；?? (3)若數列的所有項都是正整數，且都是偶數，證明“存在一個數列使得 為常數數列”的必要充分條件是“”11 (2024天津)已知數列為等比數列，并且公比大于0，它的首項之和為，若 (1)求數列首項之和； (2)設，其中 為大于1的正整數()時，證明：； （）查找參考答案1D 【解析】可以按照等差數列的基本量來處理，即將題目的所有條件轉化為和，也可以利用等差數列的性質來處理，也可以用特殊值的方法處理。【解析】
4、方法一：利用等差數列的基本量，根據等差數列的求和公式2024年高考數學答案，和。所以答案為：D。方法二：利用等差數列的性質 根據等差數列的性質，根據，根據等差數列的求和公式，所以。所以答案為：D。方法三：特殊值法 取等差數列的公差不是問題，則，則。所以答案為：D2B 【解析】結合算術平均數的性質，求出公差，即可得出數值。【解析】由，則，則等差數列的公差，所以。所以答案為：B.395 【解析】利用等差數列的通式，得到方程組，求解，再利用等差數列求和公式，即可得到答案。 【解析】由于該數列為等差數列，根據題目要求，得到，并求解。故答案為：.4 【解析】利用兩類數列散點圖的特點判斷正確性，利用反例判斷正確性，結合通式和反證法的特點判斷正確性。【解析】對于，
5.由于它們都是等差數列，它們的散點圖都分布在直線上，且兩條直線至多有一個公共點，所以 中至多有一個元素，所以 是正確的。對于 ，取 ，它們都是等差數列，但當 為偶數時，有 ，此時 中有無窮個元素，所以 是錯誤的。對于 ，假設 ，如果 中至少有四個元素，則關于 的方程至少有4個不同的正解，如果 ，則由和 的散點圖可知關于 的方程至多有兩個不同的解，這是矛盾的； 若 ，考慮方程 的奇解個數和偶解個數 ，當有偶解時，該方程為 ，該方程至多有兩個偶解，有兩個偶解，否則，由于相反的單調性，該方程至多有一個偶解，當有奇解時，該方程為 ，該方程至多有兩個奇解，有兩個奇解，即 ，否則，由于相反的單調性，該方程至多有一個奇解，因為 ，不可能同時為真，所以不可能有4個不同的正解，所以
6.正確。對于 ，因為 是單調遞增序列貝語網校， 是遞減序列，前者的散點圖呈現上升趨勢，后者的散點圖呈現下降趨勢。二者至多有一個交點，所以正確。因此，答案為：【重點】 重點思想：對于等差數列和等比數列性質的討論，可以利用它們散點圖的特點來分析。注意，在討論二者性質關系時，等比數列的共同比可能是負數，這時要注意合理變換。5【解析】 當 時，我們假設 ，那么，結合閉區間，可得 對任何的 始終成立，因此可求得 的取值范圍。 【解析】由題意，設，因為，因此，因此，當，因此，此時 為閉區間，當，設，如果，則，如果，則，如果，則，綜上所述， 為閉區間，等價于閉區間，且，所以對任意的 始終成立，所以 即，所以，所以對任意的 始終成立，因為，所以當，因此，即。因此，答案為：。【重點】重點思想：與幾何數列性質相關的不等式
7.公式始終成立。可用基本數量法把常數轉化為與公比有關的不等式，必要時可用參數分離法處理。6 (1) (2)證明見分析 (3)證明見分析 【分析】 (1)直接基于可整除數列的定義； (2)基于可整除數列的定義，可驗證結論； (3)證明至少有 使得原序列為可整除數列，再利用概率的定義。 【分析】 (1)首先設數列的公差為 ，則 由于一個序列在同時加上一個數或乘以一個非零數后是等差數列，所以當且僅當該序列是等差數列時，它是等差數列。因此，可以對序列進行適當的變換，得到一個新的序列，然后進行相應的討論。 也就是說，我們可以假設后面所有的討論都是基于這個假設的，回到原題，第一個問題相當于取出兩個數，讓剩下的四個數組成一個等差數列。
8.則剩下四個數只能是 ， 或 ， 或 。所以所有可能的都是 。（2）由于從數列中取出和之后，剩下的數可以分成以下兩部分，組合在一起，使得每組都是一個等差數列： ，組合在一起； ，組合在一起。（若 ，則忽略）所以該序列為可整除數列。（3）定義集合 ， 。下面證明，若下面兩個命題同時為真，則該序列必定是可整除數列： 命題一： 或 ； 命題二： 。我們分兩種情況證明這個結論。第一種情況：若 ， 且 。此時令 ， 。那么可以知 ，也就是如此。此時，由于從數列中取出和之后，剩下的數可以分成以下三部分，組合在一起，使得每組都是一個等差數列： ，組合在一起； ，組合在一起； ，組合在一起。 （若某部分的組數為，則忽略）所以此時該序列為可整除序列。第二種情況：若，且。此時令，。則可知，即，所以。由于，所以，因而，
9.這意味著。此時從數列中取出和之后，剩下的數可以分成如下四部分，將它們組合在一起，這樣每組都是一個等差數列：，組合在一起；，組合在一起；全部，其中，組合在一起；，組合在一起。（如果某一部分的組數為，則忽略）這里對和做一下解釋：把中的每一組當作一個橫行，排列成一個有行有列的數表，列為如下數：，。可見每列都是若干個連續的整數，它們組合起來之后，會取中五個集合中除了十個元素之外的所有數。這十個數中，除了已經去掉的和之外，剩下的八個數恰好就是中出現的八個數。由此可見，我們給出的分組方法滿足要求，因此此時數列就是可整除數列。 至此，我們已經證明了：是的，如果上述命題1和命題2同時成立，則該序列一定是可整除序列。接下來我們將考慮
10. 考慮這樣的 的個數。首先因為 ，和 各有元素，所以滿足命題1的共有 個；又若 ，設 ，則可設 ，代入 ，得 。但這會引出 ，矛盾，故 。令 ，則 ，即 。所以可能性恰好為 ，相應的有 ，總共 。所以在滿足命題1的 中，恰好有 不滿足命題2的 。這就給出了同時滿足命題1和命題2的 的個數。當我們每次從中隨機選取兩個數和 時，總選取方法數等于 。又根據前面的結論，至少有 個使得序列可整除。所以序列可整除的概率必定滿足 。由此證明了結論。【重點】 重點：本題的關鍵在于對新定義的序列的理解，理解了定義，才能利用定義來驗證或探究結論。 7 (1),(2) 參見解析式證明 (3) 參見解析式證明 【解析】 (1) 直接按題中的構造方法計算
11、坐標；（2）根據等比數列的定義，可驗證結論；（3）思路一：利用平面向量點積和等比數列工具，證明的值是與和無關的常數。思路二：利用等差數列工具，證明的值是與和無關的常數。【解析】（1）由已知，故的方程為。當，過和的直線的斜率為，并結合得。解或，所以直線和的交點不同于為，該點顯然在的左邊。因此，有。（2）由于過和的直線的斜率為，并結合得方程。展開得，由于它已經是直線和的公共點，所以方程必有一個根。因此，根據韋達定理，另一個根，相應地。 所以直線和的交點不同于，注意到的橫坐標也可以用韋達定理表示為，所以它一定在的左邊。所以。這給出了。所以。然后從，我們知道，所以序列是一個公比。
12. 是 的等比數列。（3）方法一：先證明一個結論：對于平面上的三點，若 ，則 。（如果它們在同一直線上，則一致）證明： 。證明完畢，回到原題。由于上題已得 。則由 可知 ，所以數列是 的等比數列，其公比為 。故對于任意正整數， 。且有 ，利用前面已證明的結論，可得 。這說明 的值是與 無關的常數，所以 。方法二：由于上題已得 。則由 可知 ，所以數列是 的等比數列，其公比為 。故對于任意正整數， 。由此得 ，和 。將兩式相減，可得 。移動項可得 。故 。且 ， 。所以 和 是平行的，可得 ，即 。 【重點】重點 重點：本題的關鍵是結合解析幾何與數列知識，需要綜合運用多方面的知識才能解答。 8 (1) (2) 【解析】 (1) 利用進位法，可得
13.求公比，再求首項求通項；（2）利用等比數列的求和公式求。【解析】（1）因為，所以，所以，所以等比數列的公比為，所以，所以，所以。（2）由等比數列的求和公式可得。9（1）（2）【解析】（1）利用減法求通項公式 (2)利用偏移減法求。【解析】（1）當，解為當，所以，即，且，所以，所以，數列以4項為首，為有公比的等比數列，所以。（2），所以因此，.10（1）（2）沒有一個滿足條件的，原因看解析【解析】（1）按定義寫出來就行； （2）用反證法，先假設存在一個滿足條件的方程，再列出方程，進一步說明方程無解；（3）從充分性和必要性兩個方面論證。【解析】（1）根據題目；（2）假設存在一個滿足條件的方程
14.條件，已知項之和為，項之和為，則，方程組無解，所以假設不成立，所以不存在滿足條件的；（3）設數列為，特設。必要性：若存在數列，則為常數數列。則2024年高考數學答案，故。根據定義，顯然，這里，。于是不斷利用這個公式，得，必要性得證。充分性：若。由已知，為偶數，且，所以也是偶數。我們假設，在所有通過合法數列變換能得到的可能數列中，求得最小的數列。上面已經證明了，這里，。所以從可以得到。同時，由于它始終為偶數，和的奇偶性不變，所以和都是偶數。下面證明不存在這樣的數列。假設存在，根據對稱性，我們假設，即。 情況 1：如果，那么從和都是偶數，我們知道。經過對序列的四次連續變換，新的小于原來的，這與的最小值相矛盾；情況 2：如果
15.我們假設。情況2-1：若，那么經過連續兩次變換序列，新的至少小于原序列，這與的最小值相矛盾；情況2-2：若，那么經過連續兩次變換序列，新的至少小于原序列，這與的最小值相矛盾。由此可見，無論怎樣，都會引發矛盾，所以對于任何一個，都有。假設存在使得，那么為奇數，所以都是奇數，設是。那么此時對于任何一個，可以知道必定有。且和都是偶數，所以集合中四個元素之和為偶數，對序列進行一次變換，則序列變為常數序列，新的等于零，小于原序列，這與的最小值相矛盾。綜上所述，只有可能，且，所以是常數序列，充分性得證。 【重點】 重點：本題第三題的關鍵在于對新定義的理解和對其本質的剖析。11(1)(2) 證明見詳細講解；【解析】（1）設等比數列的公比為，根據題目，結合等比數列通式，求出它，再結合等比數列求和公式，分析求解；（2）根據題目，可用差分法分析證明；根據題目，結合等差數列求和公式，可得，再結合分裂項消元法分析求解。【解析】（1）設等比數列的公比為，因為，即可以得到，重新排列，求解它或（舍棄），所以。（2）（i）由（1）可知，且，當，則，我們可以知道，當且僅當，等式成立，所以；（ii）由（1）可知：，如果，則； 若，則，當，可知其為等差數列，可得，所以，和，滿足上式，綜上所述：。【重點】重點：1.分析可知，當，可知其為等差數列；2.根據等差數列求和分析，可得。
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