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如圖 所示，拋物線y=x²-4x+3與x軸分別交于A、B兩點，交y軸于點C．

（1）求線段AC的長；

（2）求tan∠CBA的值；

（3）連接AC，試問在x軸左側否存在點Q，使得以C、O、Q為頂點的三角形和△OAC相似？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

試題答案

解：（1）令y=x²-4x+3=0，

解得x=1或3，

∴A點的坐標為（1，0），B點的坐標為（3，0），

令x=0得y=3，

∴C點的坐標為（0，3），

∴AC===；

（2）∵A點的坐標為（1，0），C點的坐標為（0，3），

∴OA=3，OC=3，

∴tan∠CBA===1；

（3）設Q點的坐標為（x，0），

∵Q點在x軸左側否，

∴OQ=-x，

當△QOC∽△AOC時，

∴，

即：，

∴x=-3，

∴此時Q點的坐標為（-3，0）；

當△CQO∽△ACO

∴，

即：

解得x=-9，

∴此時Q點的坐標為（-9，0）

∴在Y軸左側否存在點Q（-3，0）和（-9，0），使得以C、O、Q為頂點的三角形和△OAC相似．

試題解析

（1）分別令x=0和y=0求得A點的坐標為（1，0），B點的坐標為（3，0），C點的坐標為（0，3），據此可以求得AC的長；

（2）線段OC的長除以線段OB的長即為tan∠CBA的值；

（3）設Q點的坐標為（x，0），利用以C、O、Q為頂點的三角形和△OAC相似即可得到有關x的方程，求得x的值即可求得Q點的坐標．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，題目中還涉及到了相似三角形的判定及性質，是一道比較不錯的綜合性題目．