更新時間:2024-01-12 16:30:54作者:貝語網校
如圖,點C在線段AB上,△AMC和△CBN都是等邊三角形,求證:
(1);
(2)MD•EB=ME•DC.
證明:(1)∵△AMC和△CBN都是等邊三角形,
∴∠MAC=∠NCB=60°,
∴AM∥CN,
∴△ADM∽△NDC,
∴;
(2)∵△AMC和△CBN都是等邊三角形,
∴∠ACM=∠BCN=60°,AC=CM,CN=CB,
即∠ACN=∠MCB,
在△ACN和△MCB中,
,
∴△ACN≌△MCB(SAS),
∴∠CAD=∠CME,
∵∠ACM=∠NCB=60°,
∴∠MCE=60°,
在△ACD和△MCE中,
,
∴△ACD≌△MCE(AAS),
∴AD=ME,
同理:△NDC≌△BEC,
∴BE=ND,
∵△ADM∽△NDC,
∴,
∴MD•ND=AD•DC,
∴MD•EB=ME•DC.
(1)由△AMC和△CBN都是等邊三角形,易證得AM∥CN,即可得△ADM∽△NDC,根據相似三角形的對應邊成比例,即可證得;
(2)易證得△ACN≌△MCB,繼而可證得△ACD≌△MCE與△NDC≌△BEC,根據全等三角形的對應邊相等,可得AD=ME與BE=ND,又由(1)△ADM∽△NDC,即可得,繼而可證得MD•EB=ME•DC.
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質.此題難度適中,解題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質的應用;注意數形結合思想的應用.