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數學考題練習:如圖,已知等邊三角形△AEC,以AC為對角線做

更新時間:2024-01-12 16:34:29作者:貝語網校

如圖,已知等邊三角形△AEC,以AC為對角線做正方形ABCD(點B在△AEC內,點D在△AEC外).連接EB,過E作EF⊥AB,交AB的延長線為F.

(1)猜測直線BE和直線AC的位置關系,并證明你的猜想.

(2)證明:△BEF∽△ABC,并求出相似比.

試題答案

解:(1)猜測BE和直線AC垂直.

證明:∵△AEC是等邊三角形,

∴AE=CE,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=CB,

∵BE=BE,

∴△AEB≌△CEB(SSS).

∴∠AEB=∠CEB,

∵AE=CE,

∴BE⊥AC;

(2)∵△AEC是等邊三角形,

∴∠EAC=∠AEC=60°,

∵BE⊥AC,

∴∠BEA=∠AEC=30°,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAC=45°,

∴∠BAE=15°,

∴∠EBF=45°,

∵EF⊥BF,

∴∠F=90°,

∴∠EBF=∠BAC,∠F=∠ABC,

∴△BEF∽△ACB,

延長EB交AC于G,設AC為2a,則BG=a,EB=a-a,

∴相似比是:===

試題解析

(1)由等邊三角形△AEC與正方形ABCD,利用SSS,易證:△AEB≌△CEB,再根據等腰三角形的三線合一性質,即可證得:BE⊥AC;

(2)根據題意易得∠EBF的度數為45°,則易證△BEF∽△ABC,又由相似三角形的對應邊成比例,則可求得相似比.

點評:此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及等邊三角形的性質等知識.題目圖形較復雜,解題時要注意數形結合思想的應用.

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