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數(shù)學(xué)考題練習(xí):如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C

更新時間:2024-01-12 14:05:34作者:貝語網(wǎng)校

如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=12,AD=18,AB=10.動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、B同時出發(fā),動點(diǎn)P沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運(yùn)動,動點(diǎn)Q在線段BC上以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C時,點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為t(秒).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上運(yùn)動時,連接BD,若∠ABP=∠ADB,求t的值;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上運(yùn)動時,若以BQ為直徑的圓與以AP為直徑的圓外切,求t的值;

(3)設(shè)射線PQ與射線AB相交于點(diǎn)E,△AEP能否為等腰三角形?如果能,請直接寫出t的值;如果不能,請說明理由.

試題答案

解:(1)已知動點(diǎn)P沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運(yùn)動,動點(diǎn)Q在線段BC上以每秒1個單位長的速度,

可得:DP=2t,AP=18-2t,

∵∠ABP=∠ADB,∠A=∠A,

∴△ABP∽△ADB,

∴,

即AB2=AD•AP,

∴102=18×(18-2t),

解得:.

∵,

∴.

(2)過點(diǎn)B作BH⊥AD,垂足為H,得BH=8,

記BQ中點(diǎn)為O1、AP中點(diǎn)為O2,連接O1O2

過點(diǎn)O1作O1I⊥AD,垂足為I,則O1I=BH=8,

,,,

DO2=9+t,

∴,

當(dāng)時

以BQ為直徑的圓與以AP為直徑的圓外切,在Rt△O1IO2中,O1O22=O1I2+O2I2

即,整理得:t2=4,

∵t>0,

∴t=2;

(3)能,

①當(dāng)EP=EA時,∠EPA=∠A,

此時四邊形QPAB是等腰梯形,

∴BQ=PA-12,

∴t=18-2t-12,

∴t=2;

②當(dāng)EP=PA時,

PM=PA-MN-AN=18-2t-t-6=12-3t,

EQ=BQ=t,

∴PQ=EP-EQ=18-2t-t=18-3t,

∵PQ2=PM2+QM2

∴(18-3t)2=(12-3t)2+64,

解得:t=;

③當(dāng)AE=AP時,

∵AB=10,

∴EB=EA-AB=18-2t-10=8-2t,

∵,

即,

解得:t=;

④當(dāng)點(diǎn)P在DA延長線上

AP=AE(鈍角三角形)

AP=2t-18,

AE=10-t

2t-18=10-t

解得:t=

t的值可以是或或t=2或.

試題解析

(1)由已知動點(diǎn)P和動點(diǎn)Q的速度,可以用t表示出DP和AP,由∠ABP=∠ADB,∠A=∠A可得到△ABP∽△ADB,即AB2=AD•AP,把已知數(shù)據(jù)和含t的代數(shù)式代入得到關(guān)于t的一元一次方程,從而求出t的值.

(2)過點(diǎn)B作BH⊥AD,垂足為H,得直角三角形BHA,由已知AH=AD-BC,根據(jù)勾股定理求出BH,設(shè)BQ中點(diǎn)為O1、AP中點(diǎn)為O2即兩個圓的圓心,再過O1作O1I⊥AD,垂足為I,連接O1O2,得直角三角形O1IO2,由已知得出O1I,以BQ為直徑的圓與以AP為直徑的圓外切,所以O(shè)1O2=BO1+AO2,由已知O2I=DO2-DI,在直角三角形O1IO2個邊已求出,把求出的含t的代數(shù)式代入

O1O22=O1I2+O2I2,得關(guān)于t的一元二次方程,從而求出t.

(3)假設(shè)能為等腰三角形,可通過等腰三角形求出符合的t的值.

點(diǎn)評:此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角梯形和切線的性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵一是通過相似形求t的值,再是通過作輔助線得直角三角形根據(jù)勾股定理列方程求t的值.第三是由等腰三角形計算出符合條件的t的值.

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