更新時間:2024-01-12 16:43:17作者:貝語網校
如圖,AB是⊙O的直徑,點D、T是圓上的兩點,且AT平分∠BAD,過點T作AD延長線的垂線PQ,垂足為C.
(1)求證:PQ是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為4,TC=2,求圖中陰影部分的面積.
(1)證明:連接OT,如圖所示:
∵AT平分∠BAD,∴∠BAT=∠CAT,
又∵OA=OT,∴∠OTA=∠BAT,
∴∠OTA=∠CAT,
∴OT∥AC,又AC⊥PQ,
∴OT⊥PQ,
∴PQ是⊙O的切線;
(2)解:連接OD,TD,過O作OM⊥AC垂足為M,如圖所示:
∵OM=TC=2,OA=4,OM⊥AC,
∴sin∠OAM==,故∠OAM=60°,
∴∠OAT=∠COT=∠ATD=30°,∠TOD=60°,
又∠DCT=90°,∴∠ATC=60°,
∴∠DTC=30°,TC=2,
∴DC=2,
∴S陰影=S梯形CDOT-S扇形OTD
=-
=6-.
(1)連接OT,由AT平分∠BAD,根據角平分線定義得到∠BAT與∠CAT相等,再由半徑OA與OT相等,根據等邊對等角得到∠OTA與∠BAT相等,等量代換得到內錯角∠OTA與∠CAT相等,所以OT與PQ平行,由AC與PQ垂直,根據平面上與平行線中的一條垂直,與另一條也垂直得到OT與PQ垂直,則PQ為⊙O的切線;
(2)連接OM,OD,TD,過O作OM⊥AC,由OM和OA的長,利用正弦函數定義求出∠OAD的度數,進而求出∠ATC和∠TOD的度數,得到∠DTC的度數,在直角三角形TDC中,由TC的長求出DC的長,然后陰影部分的面積等于梯形CDOT的面積減去扇形OTD的面積,分別利用梯形的面積公式和扇形的面積公式,求出即可.
點評:本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.同時考查了扇形的面積公式為S=(n為扇形的圓心角,R為扇形的半徑).陰影部分的面積求法:當陰影部分是規則圖形時,利用規則圖形的面積公式來求;當陰影部分是不規則圖形時,一般利用割補的方法轉化為規則圖形間接來求.