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已知：如圖，Rt△ABC外切于⊙O，切點分別為E、F、H，∠ABC=90°，直線FE、CB交于D點，連接AO、HE，則下列結論：

①∠FEH=45°+∠FAO；②BD=AF；③AB²=AO•DF；④AE•CH=S_△ABC

其中正確的是

A.①②③④

B.①③④

C.②③④

D.①②③

試題答案

D

試題解析

連接OE，OH，OF，OB，

①由切線的性質和四邊形的內角和即可得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再圓周角定理即可得到證明結論正確；

②根據已知條件知道四邊形OEBH是正方形，然后證明△BDE≌△FAO，然后利用全等三角形的對應邊相等即可得出結論；

③根據已知條件可以證明△DFH∽△ABO，根據相似三角形的對應邊成比例和已知條件即可證明結論正確；

④根據直角三角形的面積公式直接解答即可．

解答：解：①連接OE，OH，則OE⊥AB，OH⊥BC，

得出：∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，

根據圓周角定理得∠FEH=∠FOH=45°+∠FAO，故此選項正確；

②連接OF，由①得四邊形OEBH是正方形，

則圓的半徑=BE，

∴OF=BE，

又∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，

則△BDE≌△FAO（SAS），

∴BD=AF；

故此選項正確；

③∵Rt△ABC外切于⊙O，切點分別為E、F、H，

∴BE=BH，AF=AE，

根據②得BD=AF，

∴BD=AE（等量代換），

∴AB=DH；

連接OB．

∵∠D=∠BAO，∠EFH=∠OBA=45°，

∴△DFH∽△ABO，

則DH•AB=AO•DF，又AB=DH，

所以AB²=AO•DF；故此選項正確．

④S_△ABC=AB•BC=（AE+BE）•（BH+CH）；

故此選項錯誤；

綜上所述，正確的說法有①②③；

故選D．

點評：本題考查了三角形的內切圓與內心．此題綜合運用了切線的性質定理、切線長定理、圓周角定理和相似三角形的性質和判定，綜合性比較強．