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數學考題練習:已知:如圖,Rt△ABC外切于⊙O,切點分別為

更新時間:2024-01-12 16:38:11作者:貝語網校

已知:如圖,Rt△ABC外切于⊙O,切點分別為E、F、H,∠ABC=90°,直線FE、CB交于D點,連接AO、HE,則下列結論:

①∠FEH=45°+∠FAO;②BD=AF;③AB2=AO•DF;④AE•CH=S△ABC

其中正確的是

A.①②③④

B.①③④

C.②③④

D.①②③

試題答案

D

試題解析

連接OE,OH,OF,OB,

①由切線的性質和四邊形的內角和即可得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC,再圓周角定理即可得到證明結論正確;

②根據已知條件知道四邊形OEBH是正方形,然后證明△BDE≌△FAO,然后利用全等三角形的對應邊相等即可得出結論;

③根據已知條件可以證明△DFH∽△ABO,根據相似三角形的對應邊成比例和已知條件即可證明結論正確;

④根據直角三角形的面積公式直接解答即可.

解答:解:①連接OE,OH,則OE⊥AB,OH⊥BC,

得出:∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC,

根據圓周角定理得∠FEH=∠FOH=45°+∠FAO,故此選項正確;

②連接OF,由①得四邊形OEBH是正方形,

則圓的半徑=BE,

∴OF=BE,

又∠DBE=∠AFO,∠BED=∠AEF=∠AFE,

則△BDE≌△FAO(SAS),

∴BD=AF;

故此選項正確;

③∵Rt△ABC外切于⊙O,切點分別為E、F、H,

∴BE=BH,AF=AE,

根據②得BD=AF,

∴BD=AE(等量代換),

∴AB=DH;

連接OB.

∵∠D=∠BAO,∠EFH=∠OBA=45°,

∴△DFH∽△ABO,

則DH•AB=AO•DF,又AB=DH,

所以AB2=AO•DF;故此選項正確.

④S△ABC=AB•BC=(AE+BE)•(BH+CH);

故此選項錯誤;

綜上所述,正確的說法有①②③;

故選D.

點評:本題考查了三角形的內切圓與內心.此題綜合運用了切線的性質定理、切線長定理、圓周角定理和相似三角形的性質和判定,綜合性比較強.

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